ß-Identifikation dilemma- und paradoxiefrei

[34]      y - ε   =  ß (x - δ);    µ[(y – ε) - ß (x – δ)]² = 0² ,       µ[(y – ε) (x – δ)] = σ_yx  (15)           

[34a]     Y - ε  =  ß (X - δ) + α;       µ[(Y- ε) - ß(X - δ) -α]² = 0 ,   

[35]    ∂0² / ∂ß = 0      -->     ß  =  σ_yx   / ( σ²_x  - σ²_δ  ) ,   ß ≥ ß_e   (6)  

[35a]   ∂0 / ∂α  = 0      -->     α = µY – ßµX

[35a]       (σ²_x-σ²_δ) = σ²_ξ = ρ_xxσ²_x ;      ρ_xx = σ²_ξ / σ²_x

[36]        y – ε  = ß (x – δ),|:ß ,       (y – ε)/ß = x – δ ;    µ{[(y – ε)/ß] - x – δ}² = 0²   (16)

[37]    ∂0² / ∂ß = 0 = ∂µ{[(y – ε)/ß] - x – δ}²/∂ß, 

[37a]        -->   ß  =  (σ²_y – σ²_ε) / σ _yx   ,                 ß ≤ ß_e   (16b)

[37b]                         (σ²_y – σ²_ε)  =    σ²_η  =  ρ_yy σ²_y

simuliert  mit 4 Reihen Zufallszahlen in Umfängen zu je 100000 auf  7 Stellen genau

simuliert  mit endlichen Gesamtheiten (aus Mehrfelder-Ereigniszahlen) exakt 

Weitere modellhafte ß-Identifikationen

[38]      λ:   =  σ²ε / σ²_δ  = ( σ²_y  - ßσ_yx ) / (σ²_x  - ß^-1 σ_yx )

[39]     λ:   =   ( σ²_y  - ßσ_yx ) / (σ²_x  - ß^-1 σ_yx ) | [(σ²_x – ß^-1 σ_xy)]*ß  ,    quadratische   Gleichung für ß

[40]     λ+  =   σ²ε + σ²_δ  =  ( σ²_y  - ßσ_yx ) + (σ²_x  - ß^-1 σ_yx ) | *ß  ,      quadratische    Gleichung für ß

[41]      λ-   =   σ²ε - σ²_δ   =  ( σ²_y  - ßσ_yx )  - (σ²_x  -  ß^-1 σ_yx ) | *ß  ,     quadratische   Gleichung für ß

[42]     λ*   =   σ²ε * σ²_δ   =  ( σ²_y  - ßσ_yx )  * (σ²_x  -  ß^-1 σ_yx ) |*ß  ,     quadratische    Gleichung für ß

Validierbar an Varianz-Simulation

                 [43]   unter      σ_η  =   4 ,       σ_ξ  = 2 ,     

                 [43a]           ß =    σ_η/σ_ξ     =   2 ,                  [43b]    σ_xy = 4*2  = 8 ;     positiv definit

                 [44]    σ²_η   =  16 ,    σ²_ε = 4 ,          [45]     σ²_y = σ²_η + σ²_ε  =   20 

                 [46]    σ²_ξ  =   4 ,     σ²_δ = 6 ,          [47]     σ²_x  = σ²_ξ + σ²_δ   =   10  ,            

                                           [48]    λ:   = 4/6 =  2/3

Bei Asymmetrie von η,ξ

 [47]    y   =    ßx + ε - ßδ  | *xy         [48]  µ( y²x  =  ß x²y + εxy -ßδxy)           [49]     µ (y²x  =  ß  x²y)

 [50]   ß   =   µ (y²x) / µ(x²y)              [51]          ß  =  µ(η²ξ) /µ(ξ²η)    

 [52]   ß   =   ß²µξ²µξ  /  µξ²ßµξ  =  ß | ≥ß_e

Simuliert  unter einer  assymetrischen Reihe von n=3000   mit   2 Reihen   Zufallszahlen  auf  3 Stellen                                                                                                                                                     genau

Unter bekannter Rangreihe von η oder ξ   (vergleichbar einer Widerstandsbatterie)  

x, y  partitioniert nach η oder ξ  in  Extremgruppe ²  und  Zentralgruppe ¹     

[53]     mit    x₂ : = x(ξ₂) ,    x₁ := x(ξ₁) ,         y₂ := y(η₂) ,     y₁ := y(η₁)   

[54]                                                 ß₁ = ß₂ = ß     | Homoskedastie  und                    

[55]         σ²(ε₂)  =  σ²(ε₁) ,   σ²(δ₁)  = σ²(δ₁)   | Homoskedastie     

[56]     σ²(y₂) – ß₂ σ(y₂x₂)  =  σ²(y₁) – ß₁σ(y₁ x₁)  ;     ß₂ =ß₁ = ß      (28, 55)

[57]                       ß   =  [ σ(y₂x₂) - σ(y₁ x₁)]  / [σ²(y₂) – σ²(y₁)] , 

[57a]  analog       ß  =   [σ²(x₂)- σ²(x₁)]  /  [σ(y₂x₂) – σ(y₁x₁)]